πιθανότητα

Η θεωρία των πιθανοτήτων είναι ένας αρκετά νέος, σχετικά, κλάδος των μαθηματικών, του οποίου η συμβολή και η σημασία του για τις φυσικές και κοινωνικές επιστήμες, τη βιολογία, τη βλητική, καθώς και για την αντιμετώπιση προβλημάτων στη βιομηχανία και στη διοίκηση είναι τεράστια. Η δημιουργία του κλάδου είχε ως αφετηρία της τα λεγόμενα παιγνίδια της τύχης· για την έκβαση των παιγνιδιών αυτών δεν υπάρχει βεβαιότης, αλλά πιθανότης. Τέτοια παιγνίδια στο εξής θα τα χαρακτηρίζουμε με τον όρο πειράματα· πασίγνωστα τέτοια πειράματα είναι, λ.χ., εκείνο με το νόμισμα (κορώνα, γράμματα), εκείνο με τον κύβο (ζάρι) κ.ά. Στο πείραμα με ένα ιδανικό νόμισμα δεν είναι από πριν γνωστό αν το αποτέλεσμα κάθε φορά, θα είναι κορώνα ή θα είναι γράμματα· είναι πιθανόν και το ένα και το άλλο: μάλιστα για το ιδανικό νόμισμα και με ελεύθερο ρίξιμο, τα δυο δυνατά αποτελέσματα είναι εξίσου πιθανά, έχουν την αυτή πιθανότητα. Οι παραπάνω εκφράσεις είναι σε κοινή χρήση. Από τα πειράματα σαν τα προηγούμενα ξεκίνησε και εξελίχθηκε η θεωρία των π., όπως αναφέρθηκε στην αρχή. Οι πρώτες βάσεις της θεωρίας των π. συνδέονται με τα ονόματα των: Τζ. Μπερνούλι (Η τέχνη του να προεικάζεις - Ars conjectandi, 1713), Πιερ-Σιμόν Λαπλάς (Theorie analytique des probabilities, 1812), Μπλεζ Πασκάλ, Φερμά κ.ά. Σχετικές ιδέες βρίσκονται και σε έργα του Γαλιλαίου. Σήμερα η θεωρία των π. έχει αποβάλει τον αρχικά εμπειρικό χαρακτήρα της και χάρη στη θεωρία των συνόλων και στη μοντέρνα άλγεβρα έχει διαμορφωθεί σε ένα αυστηρά θεμελιωμένο κλάδο των σύγχρονων μαθηματικών. Η σημασία του αποβαίνει ολοένα και μεγαλύτερη τόσο, ώστε εδώ και αρκετά χρόνια τα προγράμματα διδασκαλίας των μαθηματικών στη μέση εκπαίδευση σε πολλές χώρες (και στη δική μας) περιλαμβάνουν και βασικές γνώσεις από τη θεωρία των π. [σε μερικές χώρες δίνονται λίγα στοιχεία ακόμα και στο Δημοτικό σχολείο]. Για να σχηματίσει ο αναγνώστης μια πρώτη αντίληψη (σ’ αυτήν και θα περιοριστούμε εδώ) για τις π. ας ξεκινήσουμε από το πείραμα με το νόμισμα: αν κάνουμε, για παράδειγμα, 100 ρίψεις, τότε διαισθητικά περιμένουμε περίπου 50 φορές κορώνα και τις υπόλοιπες γράμματα· τα αποτελέσματα θα είναι περίπου τα ίδια με τα προηγούμενα σε κάθε 100 ρίψεις. Αναφέρουμε χαρακτηριστικά ότι ο T.E. Κέριχ, όντας υπό περιορισμό κατά τη διάρκεια του Β’ Παγκοσμίου πολέμου, κατέγραψε τα αποτελέσματα από χίλιες ρίψεις νομίσματος και αυτό δέκα φορές· στις δέκα αυτές διαδοχικές χιλιάδες ρίψεων το αποτέλεσμα κορώνα εμφανίστηκε με τους παρακάτω αριθμούς φορών: 502, 511, 497, 529, 504, 476, 507, 528, 504, 529, δηλαδή σε κάθε χιλιάδα ρίψεων οι μισές περίπου έδιναν αποτέλεσμα κορώνα [και οι υπόλοιπες, μισές περίπου, γράμματα]. Το αποτέλεσμα αυτό είναι χαρακτηριστικό. Γι’ αυτό στη γλώσσα των π. λέμε ότι: η π. στο πείραμα με το νόμισμα να είναι το αποτέλεσμα κορώνα (συντ.: κ) είναι 1/2 τόση είναι και η π. να είναι το αποτέλεσμα γράμματα (συντ.: γ). Η π. να είναι το αποτέλεσμα «ούτε κ ούτε γ» είναι 0, ενώ η π. να είναι: «κ ή γ» είναι 1/2 + 1/2 = 1. [για το αποτέλεσμα κ καθώς και για το γ θέτουμε «ίση πιθανότητα», ακριβώς γιατί το νόμισμα νοείται «ιδανικό» και η ρίψη του «ιδανική», δηλαδή το νόμισμα νοείται ισοπαχές, ισόπυκνο, συμμετρικό και η ρίψη του «ελεύθερη» πάνω σε μια εντελώς επίπεδη επιφάνεια]. Η «π . 1/2» να είναι το αποτέλεσμα κ εμφανίζεται σαν το πηλίκο του ευνοϊκού αριθμού αποτελεσμάτων (1) προς τον αριθμό όλων των δυνατών αποτελεσμάτων (2). Στο προηγούμενο παράδειγμα τα δυνατά αποτελέσματα, κ και γ, αποτελούν ένα σύνολο, το {κ, γ} = S· τα υποσύνολα αυτού του συνόλου είναι: {κ}, {γ}, (το κενό) και {κ,γ} (το ίδιο το S)· αυτά τα υποσύνολα χαρακτηρίζουν τις περιπτώσεις, που είδαμε πριν: το {κ} χαρακτηρίζει το αποτέλεσμα κ, το {γ} το γ, το το «ούτε κ ούτε γ» και το S το «κ ή γ». Οι π., που «δώσαμε» σ’ αυτές τις 4 περιπτώσεις, σ’ αυτά τα 4 υποσύνολα του S (που είναι και όλα του τα υποσύνολα), είναι, αντίστοιχα: 1/2,1/2, 0,1. Πιο γενικά: έστω ένα οποιοδήποτε πείραμα (τύχης)· ορίζεται τότε ακριβώς ένα σύνολο, το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων του πειράματος, έστω S. Αυτό το σύνολο S ονομάζεται (στη θεωρία των π.): ο δειγματικός χώρος είτε το βασικό σύνολο του πειράματος. Έτσι 1) στο πείραμα με το νόμισμα ο δειγματικός χώρος είναι το σύνολο S = {κ,γ}, όπου κ,γ συμβολίζουν τα δυνατά αποτελέσματα: κορώνα, το κ, και γράμματα, το γ· 2) στο πείραμα με τον κύβο ο δειγματικός χώρος S είναι το σύνολο S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, όπου τα σύμβολα 1, 2,..., 6, δηλαδή οι ενδείξεις των εδρών του κύβου, δηλώνουν τα (έξι, συνολικά) δυνατά αποτελέσματα του πειράματος. Στη θεωρία των π. κάθε υποσύνολο του δειγματικού χώρου, S, ενός πειράματος λέμε ότι είναι: ένα συμβάν (είτε: ένα γεγονός). Έστω ότι το S είναι πεπερασμένο σύνολο· ο πληθάριθμός του είναι τότε ένας φυσικός αριθμός, έστω ν (= 2, 3,...). Έστω τώρα ένα οποιοδήποτε συμβάν, Ε, στο πείραμα που θεωρούμε· για παράδειγμα, στο πείραμα του κύβου μπορεί να είναι· Ε = {2}, {3, 4} {2, 4, 6}. Αν Γ είναι ο πληθάριθμος του συμβάντος Ε (φυσικά 0 ≤ f ≤ ν), τότε ορίζεται ως π. του Ε και συμβολίζεται με P(E) ο αριθμός f/ν, P(E) = f/ν, δηλαδή (όπως μπορούμε να πούμε): το πηλίκο του αριθμού των ευνοϊκών αποτελεσμάτων προς τον αριθμό όλων των δυνατών αποτελεσμάτων. Έτσι είναι: Ρ () = 0, P(S) = 1 και 0 ≤ P(E) ≤1 για κάθε υποσύνολο Ε του S. Ειδικά για κάθε μονομελές υποσύνολο του S η π. είναι 1/ν [δηλ. καθένα από τα δυνατά αποτελέσματα, από τον ορισμό, είναι ισοπίθανο με κάθε άλλο, όπως και διαισθητικά δεχόμαστε]. Ας θεωρήσουμε ένα ακόμα παράδειγμα: το πείραμα με δύο ζάρια, ένα λευκό και ένα μαύρο, για να τα διακρίνουμε. Ρίχνουμε μαζί τα δύο ζάρια και κάθε φορά σημειώνουμε τους αριθμούς (ενδείξεις) των άνω εδρών. Σχηματίζεται έτσι το σύνολο όλων των διατεταγμένων ζευγών (λ, μ) όπου η ένδειξη λ αφορά το λευκό και η μ το μαύρο ζάρι. Το σύνολο αυτό S αποτελείται από 36 στοιχεία (διατεταγμένα ζεύγη)· είναι, όπως λέμε, το καρτεσιανό γινόμενο του συνόλου {1, 2, 3, 4, 5, 6} επί τον εαυτό του. Ένα συμβάν εδώ είναι, λ.χ., να έχουμε 3 λευκό, 4 μαύρο, που χαρακτηρίζεται από το υποσύνολο (μονομελές: (3, 4) του S- κατά τον ορισμό αυτό το συμβάν έχει π. 1/36_ γράφουμε: P((3, 4)) = 1/36 και, με απλοποίηση της γραφής: P((3, 4)) = 1/36 είτε –ακόμα πιο απλά– Ρ (3, 4) = 1/36 . Ένα άλλο συμβάν στο πείραμα που θεωρούμε, είναι το περιγραφόμενο ως εξής: «το άθροισμα των ενδείξεων στις άνω έδρες των ζαριών είναι 5»· αυτό το συμβάν, έστω Ε, είναι το εξής υποσύνολο του δαγματικού χώρου του πειράματος μας: Ε = (4, 1), (3, 2), (2, 3), (1, 4) με πληθάριθμο f = 4· ώστε η π. του Ε είναι: P(Ε) = f/ν = 4/36 = 1/9 . Ας θεωρήσουμε στο ίδιο πείραμα το εξής πρόβλημα: ποια είναι η π. σε μια ρίψη των δυο ζαριών να έχουμε «λευκό με ένδειξη λ ≤ 3 ή μαύρο με ένδειξη μ ≤ 2». Παρατηρούμε ότι: το συμβάν, που χαρακτηρίζεται από τη συνθήκη: λ ? 3, έστω Α, αποτελείται από τα εξής 18 στοιχεία: (1,1), (1,2),..., (1,6), (2,1), (2,2),..., (2,6), (3,1), (3,2), ..., (3,6) και το συμβάν, που χαρακτηρίζεται από τη συνθήκη μ ≤ 2, έστω Β, αποτελείται από τα εξής 12 στοιχεία: (1, 1) (1,2), (2,1), (2,2), ..., (6,1), (6,2). Το συμβάν «Α ή Β» αντιστοιχεί στην ένωση A U Β και έχει 18 + 12 - 6 = 24 στοιχεία, γιατί τα σύνολα A, B έχουν (όπως μπορεί κανείς αμέσως να δει) 6 κοινά στοιχεία, τα στοιχεία της τομής Α Π Β, που χαρακτηρίζει 18 το συμβάν «Α και Β». Έχουμε τώρα: P(A)=18/36, P(B)=12/36, P(A και Β)=P(A ∩ B)=6/36, P(Α ή Β)=P(A U Β)=24/36, - και επειδή: 18 + 12 - 6 = 36 συνάγεται ότι ισχύει (1): (1): P(A U Β) = Ρ (A) + P(B) - P(A ∩ Β). Είναι φανερό ότι, αν θεωρούσαμε στο πείραμά μας ένα συμβάν του προηγούμενου τύπου, δηλ. του τύπου «Α ή Β», και συνέβαινε να είναι Α Π Β = 0, δηλαδή τα συμβάντα A, B να είναι «ξένα μεταξύ τους» (το ένα ν’ αποκλείει το άλλο), τότε ο τύπος (1) θα γινόταν: P(A U Β) = P(A) + P(B), επειδή τότε θα ήταν P(A ∩ Β) = P(0) . Στην περίπτωση, που είναι Α Π Β διάφορο από το (κενό), τότε είναι: Ρ (Α ∩ Β) = P(A) . P(B)- έτσι, λ.χ. αν στο προηγούμενο πρόβλημα αντικατασταθεί το ή με το και, τότε η π για το συμβάν «Α και Β», P(A Π Β), είναι 6/36 = 18/36 . 12/6 =P(A) . (PB). Λογισμός των πιθανοτήτων: μια σελίδα του βιβλίου του Μπερνούλι «Ars conjectandi», που υπήρξε η 1η πραγματεία του κλάδου αυτού των μαθηματικών.

* * *

η / πιθανότης, -ητος, ΝΑ [πιθανός]

(για λογικά επιχειρήματα) το να είναι κάτι πιθανό, το να μπορεί να θεωρηθεί αληθινό, η ιδιότητα τού πιθανού, η πιθανοφάνεια, το να πείθει κάτι, η πειστικότητα («πιθανότητά τινα ἔχει ὁ λόγος», Αριστοτ.)

νεοελλ.

1. το ενδεχόμενα αληθινό, αυτό που ορισμένοι λόγοι συνηγορούν ότι μπορεί να αληθεύει («έχει πολλές πιθανότητες να προαχθεί φέτος»)

2. φρ. «κατά πάσαν πιθανότητα» — μάλλον ασφαλώς, πολύ ενδεχομένως, πιθανότατα

3. (φιλοσ.) ο βαθμός τής βεβαιότητας κατά τον οποίο συνηγορούν μεν ισχυροί λόγοι για ένα πράγμα, αλλά αντιστρατεύονται άλλοι λόγοι, οι οποίοι πρέπει εξίσου να ληφθούν υπ' όψιν

4. φρ. α) «ποσοτική πιθανότητα» — η πιθανότητα που στηρίζεται στον αριθμό τών περιπτώσεων υπέρ και κατά αυτού για το οποίο πρόκειται

β) «ποιοτική πιθανότητα» — η πιθανότητα που στηρίζεται στην αναλογία και ομοιότητα τών περιπτώσεων

γ) «λογισμός τών πιθανοτήτων» ή «θεωρία τών πιθανοτήτων» — κλάδος τών μαθηματικών που μελετά τον λογισμό ο οποίος παριστάνει την πιθανότητα κατά την οποία θα συμβεί κάτι με κλάσμα που έχει αριθμητή τον αριθμό τών ευνοϊκών περιπτώσεων και παρονομαστή τον αριθμό όλων τών περιπτώσεων, εάν ληφθούν όλες εξίσου δυνατές

δ) «λογική τών πιθανοτήτων»

μαθημ. τομέας τής μαθηματικής λογικής που ασχολείται με την πιθανότητα ισχύος προτάσεων που παράγονται από υποθέσεις και για τις οποίες δεν έχουμε ακριβή γνώση τής ισχύος τους, αν δηλαδή είναι αληθείς ή ψευδείς

ε) «πιθανότητες βολής»

στρ. ο αριθμός τών επιτυχιών σε εκατό βολές

στ) «συντελεστής πιθανότητας» — το κλάσμα που έχει αριθμητή το σύνολο τών επιτυχιών και παρονομαστή τον αριθμό εκατό.